В России учёный создал формулу решения задач, более 190 лет считавшихся нерешаемыми
Учёный из Нижнего Новгорода Илья Ремизов вывел универсальную формулу для решения задач, которые более 190 лет считались нерешаемыми аналитическим путем.
В средней школе на уроках математики учат, что для нахождения x в уравнении ax2+bx+c=0 нужно просто подставить коэффициенты a, b и c в готовую формулу вычисления корня уравнения через дискриминант. Это удобно, быстро и понятно. Однако в высшей математике, в которой описываются сложные процессы, используются уравнения вида ay''+ by'+cy=g. Это тоже уравнение второго порядка, но не алгебраическое, а дифференциальное.
Такие уравнения – фундаментальный инструмент науки: они описывают все – от колебаний маятника и сигналов в электросетях до движения планет. И именно здесь исследователи зашли в тупик. Ещё в 1834 г. французский математик Жозеф Лиувилль показал, что невозможно выразить решение такого уравнения через его коэффициенты, используя стандартный набор действий. С тех пор в математическом сообществе укоренилось мнение, что общей формулы для их решения нет и быть не может. Задача считалась закрытой и безнадежно неразрешимой более 190 лет.
Старший научный сотрудник НИУ ВШЭ и ИППИ РАН Иван Ремизов предложил выход. Он не стал спорить с Лиувиллем, а просто расширил набор инструментов. К стандартным математическим действиям ученый добавил ещё одно – нахождение предела последовательности. Это позволило записать формулу, в которую можно подставить коэффициенты a, b, c и g уравнения ay''+ by'+cy=g, и найти его решение – функцию y.
Метод основан на теории аппроксимаций Чернова. Суть идеи состоит в том, что сложный, постоянно меняющийся процесс разбивается на бесконечное множество простых шагов. Для каждого такого участка строится свое приближение – элементарный фрагмент, который описывает поведение системы в конкретной точке. По отдельности эти кусочки дают лишь упрощенную картину, но, когда их число устремляется к бесконечности, они бесшовно соединяются в идеально точный график решения.
В статье Ремизова доказано: если применить к этим шагам преобразование Лапласа – метод, который переводит задачу с языка сложных изменений на язык обычных алгебраических вычислений, - они безошибочно фокусируются в итоговый результат. Учёные называют его резольвентой.
Работа Ивана Ремизова перекидывает мостик от математики к современной физике. Учёный впервые представил решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде формулы, аналогичной знаменитым интегралам нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана, с помощью которых описывают движение квантовых частиц. То, что раньше работало для квантовой механики, теперь применимо к классическим задачам, сообщает пресс-служба НИУ ВШЭ.